Jak zrozumieć matematykę - wartość bezwzględna?

Wartość bezwzględna, przez wielu nierozumiana jest w gruncie rzeczy stosunkowo prosta do opanowania. W zrozumieniu czym jest i przypomnieniu informacji wartych przypomnienia pomóc może poniższa porada.

1
Źródło: własne. Źródło: własne.

Po pierwsze wartość bezwzględna według interpretacji geometrycznej (czyli osi poziomej x), to odległość od 0 na osi (przypominam, że osią x nazywamy linię poziomą ze strzałką po prawej stronie, podziałką i oznaczeniem osi, jako "x" właśnie). Z praktyki wiemy, że odległość nie może być ujemna, a co za tym idzie wartość bezwzględna również nigdy nie jest ujemna. To znaczy, że np.:
|-3|=3
|-3+1|=2
|5|=5
W zadaniu wyglądałoby to tak: rozwiąż równanie |x|=3.
Pamiętając, że wartość bezwzględna z x, to odległość x od 0 uzyskujemy odpowiedź: x=3 lub x=-3 (patrz: rysunek).


2
Źródło: własne. Źródło: własne.

Jak sprawa ma się jednak z nierównościami?
Mamy zadanie: rozwiąż nierówność |x|<6.
Ponownie, pamiętając, że wartość bezwzględna z x, to odległość tej liczby od 0, możemy zauważyć, że w tym przykładzie odległość od zera musi być mniejsza od 6. To oznacza, że x<6 oraz x>-6 czyli x ∈ (-6;6).
Kolejne zadanie: rozwiąż nierówność |x|>1.
Widzimy, że wartość bezwzględna z x musi być większa od 1, a to oznacza, że na osi odległość x od 0 musi być większa od 1. Daje nam to x<-1 oraz x>1 czyli x ∈(–∞;-1)U(1; ∞).


3
Źródło: własne. Źródło: własne.

Co jednak z nieco trudniejszymi przypadkami, np.: rozwiąż równanie |x+3|=5?
Teraz należy znaleźć liczbę, która podstawiona pod x da nam 0 w wartości bezwzględnej. W tym przypadku będzie to -3, bo |-3+3|=0. Następnie szukamy liczb, których odległość od -3 wynosi 5. Będą to więc liczby x=-8 oraz x=2.
Kolejne zadanie: rozwiąż równanie |x-3|=-12.
Nie trzeba nawet zaczynać rysować wykresu ponieważ, jak widzimy wartość bezwzględna pewnej liczby jest tu ujemna i wynosi -12, co jest niemożliwe. Równanie to nie ma rozwiązań czyli jest sprzeczne.


4

Informacją, którą należy zapamiętać jest zależność: pierwiastek z liczby podniesionej do kwadratu równa się wartości bezwzględnej z tej liczby. Np: √(5^2 )=|5|. Ponad to: |p*q|=|p|* |q|, |p+q|=|p|+ |q|.


5

Błąd względny i bezwzględny. Pierwszy z nich stanowi przedstawienie stosunku błędu bezwzględnego (czyli rzeczywistego) do wartości bezwzględnej z x. Tzn. |x-a|:|x|, gdzie a to przybliżenie liczby x. Błąd bezwzględny to różnica między liczbą x, a jej przybliżeniem a przedstawiona w postaci wartości bezwzględnej. To oznacza, że szacując, że boisko ma 100m długości, podczas, gdy w rzeczywistości ma ono 90m błąd bezwzględny takiego szacunku wynosi 10m (bo |x-a|=|100-90|), a błąd względny to 10% lub 0,1 (bo |x-a|:|x|=|100-90|:|100|=0,1).


Przeczytaj teraz:

Dodaj komentarz

  1. Zaloguj się:
  1. 06.05.2013

Komentarze