Jak obliczyć ilość przekątnych w wielokącie foremnym?

Z tej porady dowiesz się jak obliczyć ilość przekątnych, które da się wrysować w wielokąt foremny.

1
źródło: www.flickr.com, autor: Wolfman-Kźródło: www.flickr.com, autor: Wolfman-K

Trójkąt to wielokąt o najmniejszej liczbie boków. Już na pierwszy rzut oka widać, że w trójkącie liczba przekątnych wynosi zero.


2
źródło: flickr.com, autor: cynicalviewźródło: flickr.com, autor: cynicalview

Kolejnym wielokątem po trójkącie jest kwadrat. Tu również na pierwszy rzut oka widzimy, że w kwadracie liczba przekątnych wynosi 2.


3
źródło: www.flickr.com, autor: Scarygamiźródło: www.flickr.com, autor: Scarygami

A teraz pięciokąt. Tu liczba przekątnych wynosi 5.


4

Aby narysować sześciokąt i w nim przekątne trzeba nieco więcej wysiłku. Ale to też nie jest zbyt trudne. Po chwili stwierdzimy, że w sześciokącie liczba przekątnych wynosi 9.


5

No tak, ale co dalej? Czy jest jakaś reguła, którą można zastosować, aby obliczyć ilość przekątnych w dowolnym n-kącie foremnym?
Dla kolejnych n-kątów foremnych gdzie n = 3, 4, 5, 6…. Mamy liczbę przekątnych k = 0, 2, 5, 9…


6

Zwróćmy uwagę że, przy wykreślaniu przekątnych w dowolnym n-kącie foremnym, z dowolnego wierzchołka tego n-kąta nie możemy wykreślić przekątnej do trzech wierzchołków. Nie ma technicznej możliwości narysowania przekątnej z wierzchołka A do żadnego z sąsiadujących z nim wierzchołków. Nie da się również poprowadzić przekątnej z wierzchołka A do tego samego wierzchołka A. Zatem z każdego wierzchołka n-kąta foremnego można poprowadzić przekątną do n-3 innych wierzchołków. Wykreślając po kolei (z każdego wierzchołka n-kąta foremnego) przekątne w n-kącie foremnym zauważymy, że w pewnym momencie zaczniemy „dublować” raz już narysowane przekątne. Wynika to z faktu, że rysując przekątną z wierzchołka A do wierzchołka np. E, będąc w punkcie E narysujemy ją jakby jeszcze raz jako przekątną EA.


7

Czy już domyślasz się jak obliczyć ilość przekątnych w n-kącie foremnym?
Liczba „zdublowanych” przekątnych to oczywiście n x ( n – 3 ) bo z każdego wierzchołka n-kąta foremnego można narysować n – 3 przekątne. Ponieważ każda z tych przekątnych będzie „rysowana dwa razy" stąd wynik ten należy podzielić przez 2.


8

Mamy zatem wzór na ilość przekątnych w dowolnym n-kącie foremnym.
P = n x ( n – 3 ) / 2 gdzie p to liczba przekątnych, a n liczba boków w dowolnym wielokącie foremnym


9

A jaki to wielokąt foremny, którego liczba przekątnych to 4850?


Przeczytaj teraz:

  1. Norbert Gajecki Zaradni.pl

Dodaj komentarz

  1. Zaloguj się:
    1. 12.09.2012

    Komentarze